Cybernetics Wiki
Advertisement

Вектор Шепли - принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме ее формирования.

Формальное определение[]

Для кооперативной игры рассмотрим некоторое упорядочение множества игроков N. Обозначим через подмножество, содержащее i первых игроков в данном упорядочении. Вкладом i-го по счету игрока назовем величину , где v - характеристическая функция кооперативной игры.

Вектором Шепли кооперативной игры называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции , при равновероятном возникновении упорядочений:

где n - количество игроков, T - множество упорядочений множества игроков N, - распределение выигрыша, в котором игрок, стоящий на месте i в упорядочении , получает свой вклад в коалицию (точка Вебера).

Более распространенная формула для вычисления вектора Шепли, не требующая нахождения n! точек Вебера, имеет вид:

где n - количество игроков, k - количество участников коалиции K.

Аксиоматика вектора Шепли[]

Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам:

1. Линейность. Отображение представляет собой линейный оператор, т.е. для любых двух игр с характеристическими функциями v и w

и для любой игры с характеристической функцией v и для любого

2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра w получена из игры v перестановкой игроков, то ее вектор Шепли есть вектор с соответствующим образом переставленными элементами.

3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, т.е. игрок i, такой что для любой коалиции K, содержащей i, выполнено: .

Аксиома болвана состоит в том, что если игрок i - болван, то .

4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, т.е. сумма компонент вектора равна .

Теорема Шепли. Для любой кооперативной игры v существует единственное распределение выигрыша, удовлетворяющее аксиомам 1 — 4, задаваемое приведенной выше формулой.

[]

Advertisement