Cybernetics Wiki
Advertisement

Логистическое отображение (также известное, как квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) является полиномиальным отображением, хрестоматийно упоминаемым в качестве типичного примера того, как сложное, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных уравнений. Отображение является дискретным аналогом непрерывного логистического уравнения Ферхюльста, отражая тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени. Математическая формулировка отображения

где:

принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в -ом году, а обозначает начальную численность (в год номер 0)
- положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.

Это нелинейное отображение описывает два эффекта:

  • размножение популяции, со скоростью, пропорциональной ее численности в момент, когда численность мала.
  • конкуренцию (смертность при высокой плотности) за жизненные ресурсы, при которой скорость размножения падает из-за ограничения на "максимальную емкость" среды, в которой обитает популяция.

Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение дает отрицательные значения численности популяции. Подобного недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.

Зависимость поведения от параметра []

При изменении значения параметра , в системе наблюдается следующее поведение [1]:

  • если больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
  • если больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение
, независимо от начальных условий .
  • если больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же прийдет к тому же стационарному значению
, но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения =3, при котором она крайне мала, меньше линейной.
  • если больше 3 и меньше (приблизительно 3.45), численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями, причем их величина не зависит от .
  • если больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
  • при значении больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения . Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ = 4.669. Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода.
  • При значении приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
  • Большинство значений, превышающих 3.57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные "окна" значений , при которых система ведет себя регулярно, обычно их называют "окнами периодичности". К примеру, начиная со значения (приблизительно 3.83), существует интервал параметров , при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений - между 6, потом 12 и т.д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского.
  • При = 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.

Итог вышеперечисленного приведен на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра , а по оси ординат - принимаемые на больших временах значения .

Файл:LogisticMap BifurcationDiagram.png

Бифуркационная диаграмма логистического отображения

Структура бифуркационной диаграммы фрактальна: если увеличить область, к примеру, при значении = 3.82 в одном из трех ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искаженная и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.

Аналитическое решение[]

Для = 2 точное аналитическое решение выглядит следующим образом:

Ссылки[]

Advertisement