Осциллятор Чуа

Файл:Chua circuit1.gif

Рисунок 1 – Схема Чуа. L,G,C1,C2-пассивные элементы, g-диод Чуа. В классическом варианте предлагаются следующие значения элементов: L=1/7Гн;G=0.7См;C1=1/9Ф;C2=1Ф

Простейшая электрическая цепь, демонстрирующая режимы хаотических колебаний. Была предложена профессором Калифорнийского университета Леоном Чуа в 1983 году. Цепь состоит из двух конденсаторов, катушки индуктивности, линейного резистора и нелинейного резистора (обычно называемого диодом Чуа).

Уравнение цепи имеет вид:

$C_{1}{\frac {dv_{C_{1}}}{dt}}=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1}})-g(v_{C_{1}})$

$C_{2}{\frac {dv_{C_{2}}}{dt}}=G(v_{C_{1}}-v_{C_{2}})-i_{L}=0$

$L{\frac {di_{L}}{dt}}=-v_{C_{2}}$

где $g(v_{C_{1}})$ - кусочно-линейная функция, определенная как

$g(v_{C_{1}})=G_{b}v_{C_{1}}+{\frac {1}{2}}(G_{a}-G_{b})(|v_{C_{1}}+E|-|v_{C_{1}}-E|)$

Файл:Main html ma6c64fb.gif

Рисунок 2 – Вольт-амперная характеристика диода Чуа. Также показана нагрузочная прямая, от пересечения с которой образуются три точки равновесия d,0 и -d

Это соотношение представлено графически на рисунке 2: крутизна внутреннего и внешнего участков есть Ga и Gb, соответственно; при этом точки ±Е соответствуют изломам на графике.

Выполним следующие замены на безразмерные коэффициенты:

$m_{0}={\frac {G_{a}}{G}};m_{1}={\frac {G_{b}}{G}};\alpha ={\frac {C_{2}}{C_{1}}};\beta ={\frac {C_{2}}{LG^{2}}}$

$\tau ={\frac {tG}{C_{2}}};x={\frac {v_{C_{1}}}{E}};y={\frac {v_{C_{2}}}{E}};z={\frac {i_{L}}{G}}$

Основная система уравнений запишется в виде:

${\frac {dx}{d\tau }}=\alpha [y-x-h(x)]$

${\frac {dy}{d\tau }}=x-y+z$

${\frac {dz}{d\tau }}=-\beta y$

где

$h(x)=m_{1}x+{\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1})(|x+1|-|x-1|)$

Схема Чуа обнаруживает хаотические режимы колебаний в довольно узкой области параметров схемы. Основные режимы колебаний условно показаны на рисунке 3.

Файл:Chua bifurcation diagram1.gif

Рисунок 3 – Бифуркационная диаграмма режимов при m₀=-8/7,m₁=-5/7

В случае, когда параметры α и β принадлежат области, обозначенной на диаграмме словами "Нет автоколебаний" в системе существуют два устойчивых положения равновесия d и -d и одно неустойчивое, находящееся в начале координат 0. В этом случае схема Чуа в зависимости от начальных условий может находиться в одном из двух устойчивых положений равновесия. В случае, когда параметры системы находятся в области помеченной словами "Периодические колебания" в окрестности точки равновесия d или -d существует устойчивый предельный цикл. По мере приближения к границе с хаотическим режимом, система претерпевает цикл удвоений периода. Приращение значений параметра перед наступлением каждой последующей бифуркации удвоения периода уменьшается согласно соотношению Фейгенбаума. При попадении параметров в область "Хаос" образуется странный аттрактор (рисунок 4), называемый "двойной завиток" ("double scroll"). При этом типе поведения траектория система проходит в окрестности и верхнего, и нижнего положения равновесия. Внутри области существования аттрактора "double scroll" также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области аттрактора Рёсслера. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия. Когда параметры α и β переходят в область, помеченную на рисунке 3 как "Разгон", в колебательной системе наблюдаются периодические колебания нарастающей амплитуды. Поскольку диод Чуа реализуется на операционных усилителях, он имеет ограниченный динамический диапазон и поэтому в системе существует также большой по размерам устойчивый предельный цикл, охватывающий все сегменты характеристики диода Чуа.

Файл:Double scroll attractor1.png

Рисунок 4 – Аттрактор типа двойной завиток. Фигура Лиссажу i_L от v_С1 при L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В

На рисунках 5 , 6 показаны временные зависимости колебаний, обнаруживаемых данной системой.

Файл:Time series1.png

Рисунок 5 - Временная зависимость v_C1 для случая L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В

Файл:Time series2.png

Рисунок 6 - Временная зависимость v_C2 для случая L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В

Файл:Chua's circuit.svg

Рисунок 7 - Практическая схема осциллятора Чуа. L1=8.5мГн C1=4.8нФ C2=69нФ R=1.3кОм

Лёгкость практической реализации а также наличие относительно простой математической модели делает осциллятор Чуа удобной моделью при изучении теории хаоса.

Литература

• Бугаевский М.Ю., Пономаренко В.И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.
• Matsumoto, T. [1984] "A Chaotic Attractor from Chua's Circuit," IEEE Transactions on Circuits & Systems, vol.CAS-31, no.12, pp.1055-1058.
• Chua, LO., Komuro, M., Matsumoto, T. [1986] "The Double Scroll Family," IEEE Transactions on Circuits & Systems, vol.CAS-33, no.11, pp.1073-1118.

Ссылки

• Chua's Circuit: Diagram and discussion
• NOEL laboratory. Leon O. Chua's laboratory at the University of California, Berkeley
• References