Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение его состояний.
В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.
Линейные непрерывные системы[]
Для случая линейной системы с входами, выходами и переменными состояния описание имеет вид:
где
; ; ;
, , , , .
— вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы
— вектор выхода,
— вектор управления,
— матрица системы,
— матрица управления,
— матрица выхода и
— матрица прямой связи.
Часто матрица является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.
Дискретные системы[]
Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.
Нелинейные системы[]
Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:
или в более компактной форме:
Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.
Линеаризация[]
В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки .
В установившемся режиме для рабочей точки справедливо следующее выражение:
Вводя обозначения:
Разложение уравнения состояния в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:
При взятии частных производных вектор-функции по вектору переменных состояний и вектору входных воздействий получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:
Аналогично для функции выхода:
Учитывая , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:
где
Примеры[]
Модель в пространстве состояний для маятника[]
Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:
где
— угол отклонения маятника.
— приведённая масса мaятника
— ускорение свободного падения
— коэффициент трения в подшипнике подвеса
— длина подвеса маятника
В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:
где
— угол отклонения маятника
— угловая скорость маятника
— угловое ускорение маятника
Запись уравнений состояния в общем виде:
Линеаризация модели маятника[]
Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия имеет вид:
При отсутствии трения в подвесе ) получим уравнение движения математического маятника: