Супермодулярность

Супермодулярность — обобщение свойства выпуклости функций числового аргумента на функционалы, определенные на множествах произвольной природы.

Функционал v, определенный на подмножествах множества N, называется супермодулярным, если для любых подмножеств $A, B \subseteq N$ выполнено

$v(A) + v(B) \le v(A \cap B) + v(A \cup B)$.

Функционал называется модулярным, если данное условие выполнено как равенство. Функционал называется субмодулярным, если неравенство выполнено с обратным знаком.

Эквивалентное определение супермодулярности: для любого подмножества $A \subset N$, для любых $i, j \in N$ выполнено

$v(A) + v(A \cup \{i,j \}) \ge v(A \cup \{i\}) + v(A \cup \{j\})$.

Супермодулярность является более сильным свойством, нежели супераддитивность функционала. Любой супермодулярный функционал является супераддитивным.

Синергетическая интерпретация

В терминах синергетики супераддитивность функционала указывает на наличие синергетического эффекта от объединения двух систем. При этом супермодулярность свидетельствует о том, что величина синергетического эффекта от объединения возрастает с увеличением масштаба объединяемых систем (положительный эффект масштаба). Субмодулярность говорит о возникновении негативных синергетических эффектах с ростом масштаба систем (диссинергия). Модулярность функционала соответствует отсутствию синергетических эффектов при объединении систем.

Применение

Понятие супермодулярности используется в теории кооперативных игр для доказательства существования C-ядра. Согласно теореме Шепли, супермодулярность характеристической функции кооперативной игры является достаточным условием существования непустого C-ядра.

Источники

• Данилов В. И. Лекции по теории игр. — М.: Российская экономическая школа, 2002.