Cybernetics Wiki
Advertisement
Файл:Focal stability.png

Двумерное фазовое пространство динамической системы (её развитие имеет вид расходящейся спирали)

Фазовое пространство в математике и физике представляет множество всех состояний системы в фиксированный момент времени. Каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Сущность понятия фазового пространства заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция этой системы — перемещением этой точки. Кроме того, в механике движение этой точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.

В классической механике гладкие многообразия служат как фазовые пространства.

Механические системы[]

В случае механических систем это пространство четной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы).

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

Динамические системы[]

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием. Оно не обязательно чётномерно и динамика на нём не обязательно задаётся уравнениями Гамильтона.

Случай нескольких систем[]

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, нужно задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, если точки образуют замкнутый контур, а система является гамильтоновой, то площадь контура не меняется во времени.

Примеры[]

Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.

Интерпретация состояния движущегося объекта как точки в фазовом пространстве разрешает парадокс Зенона. (Парадокс состоит в том, что если мы описываем состояние объекта его положением в конфигурационном пространстве, то объект не может двигаться.)

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределенностей эрмитовой и анти–эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем [1]. Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики [2]. Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

Ссылки[]

  1. Д.Кузнецов; Д.Ройлих (1997). "Квантовый шум при отображении фазового пространства". Оптика и Спектроскопия 82 (6): 990-995.
  2. Ю.М.Широков (1979). "Квантовая и классическая механика в представлении фазового пространства". ЭЧАЯ 10 (1): 5–50.

См. также[]

  • Фазовая плоскость
  • Стрела Зенона


Advertisement