G - матрица перцептрона

G - матрица перцептрона - используется для анализа перцептронов. Имеет следующий вид:

$G = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & ... & g_{1n} \\ g_{21} & g_{22} & ... & g_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ g_{n1} & g_{n2} & ... & g_{nn} \\ \end{pmatrix}$,

где $n$ - число стимулов (величина обучаемой выборки, число примеров для запоминания);

$g_{ij}$ - коэффициенты обобщения.

Смысл G - матрицы перцептрона

Коэффициент обобщения равен полному изменению веса ($\sum \Delta w_k$) всех А-элементов, реагирующих на стимул $St_i$, если на каждый А-элемент из множества, реагирующего на стимул $St_j$, подается сигнал подкрепления $\eta$.

Отсюда понятно, что коэффициент обощения показывает относительное число А-элементов, реагирующих как на стимул $St_i$, так и на стимул $St_j$.

Для простых перцептронов G - матрица не изменяется со временем и является симметричной.

Связь А и G - матриц перцептрона

Связь между А и G - матрицами перцептрона выражается следующими соотношением: G = A×A^T, где A^T транспонированная матрица. Поэтому G матрица является положительно определенной, либо положительно полуопределенной. Так же ранг матрицы G равен рангу матрицы А.

Важными является условия при которых G - матрица особенная, т.е. матрица не имеющая обратной, для квадратной матрицы это тогда когда определитель матрицы равен нулю.

Рассмотрим несколько случаев:

1. Пусть матрица G = A×A^T особенная, то есть |G| = 0; Рассмотрим |G| = |A×A^T| = |A|×|A^T| = |A|×|A| = |A|², получаем что |A|² = 0 → |A| = 0 → матрица А особенная.
2. Пусть матрица G = A×A^T не особенная, то есть |G| = ξ ≠ 0; Рассмотрим |G| = |A×A^T| = |A|×|A^T| = |A|×|A| = |A|², получаем что |A|² = ξ≠0 → |A| ≠ 0 → матрица А не особенная.
3. Пусть |А|=0; Найдем |G|, |G|=|А|*|А^T|=0*0=0.
4. Пусть |А|=ξ≠0; Найдем |G|,|G|=|А|*|А^T|=ξ*ξ=ξ²≠0.

Таким образом получаем, что Матрица G = A×A^T особенна, тогда и только тогда, когда матрица А особенна.

Матрицы и вектора классификаций в перцептроне

Файл:Perceptron XOR3.jpg

Решение элементарным перцептроном «задачи XOR»

Ниже матрицы и вектора, характеризующие классификацию буду изложенны на примере решения перцептроном задачи XOR. Напомним, что стимулы и их принадлежность классам при решении задачи XOR следующие:

	Вход 1 (X1)	Вход 2 (X2)	Класс
Стимул 0	0	0	-
Стимул 1 $St_1$	1	1	-
Стимул 2 $St_2$	0	1	+
Стимул 3 $St_3$	1	0	+

D матрица перцептрона

Диагональная матрица, элементы которой $d_{ii} = \rho_i$, где $\rho_i$ задает принадлежность стимулов к классам в некоторой классификации C(W) следующим образом:

$\rho_i = \begin{cases}+1, & if \ St_i \in C^+ , \\ -1 & if \ St_i \in C^- \\ \end{cases}$,

т.е. $\rho_i = +1$, если стимул $St_i$ принадлежит к положительному классу, и $\rho_i = -1$, если стимул $St_i$ принадлежит к отрицательному классу.

D матрица перцептрона при решении задачи XOR имеет вид:

$D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ ;

B матрица перцептрона

B матрица перцептрона отражает активность А-элементов, так же как и A - матрица перцептрона, но в отличии от нее еще показывает принадлежность стимулов к классам классификации, поэтому получается перемножением матриц А и D, т.е. $B = DA$. При решении задачи XOR будет иметь вид:

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$.

H матрица перцептрона

H матрица перцептрона очень близка по сути к матрицы G, но так же как и матрица B показывает еще принадлежность стимулов к классам классификации, и получается следующим образом $H = BB^T$. При решении задачи XOR будет иметь вид:

$H = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$.

Z вектор перцептрона

Z вектор имеет размерность n, где n - число стимулов. Компонента вектора Z равна полной велечине подкрепления, введенного во время всех коррекций реакций на стимул $St_i$, т.е. $z_i=\sum {\rho_i \Delta x_i}$, где $\Delta x_i$ - величина подкрепления (равно единице в методе коррекции ошибки с квантованием)

См. также

• A - матрица перцептрона
• Перцептрон

Литература

• Розенблатт, Ф. Принципы нейродинамики: Перцептроны и теория механизмов мозга = Principles of Neurodynamic: Perceptrons and the Theory of Brain Mechanisms. — М.: Мир, 1965. — 480 с.

---

Это основополагающая версия, написанная участниками этого проекта. Но содержимое этой страницы очень близкое по содержанию предоставлено для раздела Википедии на русском языке. Так же, как и в этом проекте, текст этой статьи, размещённый в Википедии, доступен на условиях GNU FDL. Статью, размещенную в Википедии можно найти по адресу: G - матрица перцептрона.

---